Обозначим ∠BMC = α.

Так как вершины четырехугольника ABCD лежат на окружности, то ∠BAC = ∠BDC = 36° $центральныйугол$.

Так как диагонали пересекаются в точке M, то ∠BDC = ∠BMC.

Так как ∠CAD + ∠ADC = 138°, то ∠CAD = 138° - ∠ADC = 138° - 36° = 102°.

Так как вершины четырехугольника ABCD лежат на окружности, то ∠CAD = ∠CBD = 102°.

Так как ∠CBD = ∠MBD, то ∠MBD = 102°.

Так как вершины четырехугольника ABCD лежат на окружности, то ∠ABD = ∠ACD = 72°.

∠BMD = 180° - ∠BMC - ∠MBD = 180° - α - 102° = 78 - α.

Так как ∠MBD = ∠ABD и ∠ABD = ∠ADC, то MDC = ∠ADC = 36°.

Так как ∠MDC = ∠MBC, то ∠MBC = 36°.

Так как вершины четырехугольника ABCD лежат на окружности, то ∠BMC = ∠BAC = 36°.

Итак, ∠BMC = 36°.