В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так, что BK:KM=4:1. прямая AK пересекает сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырехугольника KPCM.
В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так, что BK:KM=4:1. прямая AK пересекает сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырехугольника KPCM.
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Обозначим площади треугольников с помощью S, а стороны треугольника ABC - a, b, c.
Так как отношение длины отрезка BK к отрезку KM равно 4:1, то отношение площадей треугольников ABK и AKM также равно 4:1. Значит, SABKABKABK = 4/5 * SABMABMABM.
Теперь заметим, что треугольники ABK и ABC равны по площади, так как они имеют общую высоту из вершины A и сторону AB, смежную с этой высотой.
Теперь объединим треугольники AKM и KPM. Поскольку отрезок AK является медианой треугольника ABC, то медиана разбивает треугольник на два треугольника равного площади. Значит, SKPMKPMKPM = 1/2 SABCABCABC, а SAKMAKMAKM = 1/2 SABCABCABC.
Теперь можем записать, что SKPCMKPCMKPCM = SKPMKPMKPM + SAKMAKMAKM = 1/2 SABCABCABC + 1/2 SABCABCABC = SABCABCABC, так как треугольники AKM и KPM в сумме равны треугольнику ABC.
Итак, SABKABKABK / SKPCMKPCMKPCM = 4/5 SABMABMABM / SABCABCABC = 4/5 1/2 = 2/5.
Отношение площади треугольника ABK к площади четырехугольника KPCM равно 2:5.