Пусть основание равнобедренной трапеции равно a см, а боковая сторона - b см.

Так как угол между диагональю и основанием равен 30°, то треугольник, образованный диагональю и одним из оснований, является прямоугольным. Также данный треугольник равносторонний, так как основание и боковая сторона равнобедренной трапеции равны.

Зная это, можем составить уравнение:
(b = a)
(S = \frac{b^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3})

Подставляем b:
(\frac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3})

Умножаем обе стороны на 4 и делим на (\sqrt{3}):
(a^2 = 144)
(a = 12) см

Также зная, что основание и боковая сторона равны, можем найти длину диагонали:
(d = 2 \cdot \frac{a}{\sqrt{3}} = 2 \cdot \frac{12}{\sqrt{3}} = 2 \cdot \frac{12\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3}) см

Итак, длина диагонали трапеции равна 8√3 см.