Для начала найдем длины сторон треугольника ABC. Учитывая, что угол A = 60 градусов, у нас есть прямоугольный треугольник с гипотенузой AB = √3 + 1 и углом A = 60 градусов. Таким образом, сторона BC = AB sin(A) = (√3 + 1) sin(60) = 2.

Теперь можно найти радиус вписанной окружности этого треугольника. Радиус вписанной окружности равен отношению площади треугольника к полупериметру:

r = S / p,

где S - площадь треугольника ABC, равна половине произведения катетов, то есть S = 1/2 AC BC = 1/2 1 2 = 1, и p - полупериметр треугольника ABC, равный сумме его сторон, поделенной на 2, то есть p = (AB + AC + BC) / 2 = ((√3 + 1) + 1 + 2) / 2 = (√3 + 4) / 2.

Таким образом, радиус вписанной окружности:

r = S / p = 1 / ((√3 + 4) / 2) = 2 / (√3 + 4) = (2(√3 - 4)) / (-1) = 4 - 2√3.

Теперь найдем радиус описанной окружности треугольника ABC. Для этого используем формулу:

R = AB / 2 = (√3 + 1) / 2.

Таким образом, радиус описанной окружности равен (√3 + 1) / 2.

Итак, радиус вписанной окружности, касающейся катета AC, гипотенузы AB и окружности, описанной около треугольника ABC, равен 4 - 2√3, а радиус описанной окружности равен (√3 + 1) / 2.