Обозначим через M точку, в которой касательная O1A пересекает O2B. Так как O1A и O2B — касательные к окружностям $O2;R2$ и $O1;R1$ соответственно, то O1M = R1, O2M = R2. Также, так как AB — хорда окружности $O1;R1$, а O1M — радиус этой окружности, то AM = BM = 5.

Треугольник AMB — равнобедренный, поэтому MB — медиана к стороне AB и BM = 5. Следовательно, BM = 2MB, откуда MB = 10. Так как MD = 10, то O1D = 10 $таккакO1M=R1$.

Теперь рассмотрим треугольник O1O2D. Так как O1O2 — сумма радиусов R1 и R2, то O1O2 = 5R1/2 + 5R2/2 = 5$R1+R2$/2 = 5R/2, где R — радиус искомой окружности.

Заметим, что O1D = 10 и O1O2 = 5R/2. Так как треугольник O1O2D — прямоугольный, то по теореме Пифагора получаем:
$5R/2$^2 = 10^2 + R^2, откуда 25R^2/4 = 100 + R^2, 25R^2 = 400 + 4R^2, 21R^2 = 400, R^2 = 400/21, R = √$400/21$ = 20/√21.

Теперь у нас есть радиус R и известно, что точки A, B, O1, O2 лежат на одной окружности.