Периметр четырёхугольника ABCK равен 44.

Из условия AB:BC=2:4 и BC=12, находим AB=6 и BC=12.

Из условия AB:AC=4:6, находим AC=9.

Теперь находим AM, который является медианой треугольника ABC:
AM = 1/2 √(2AB^2 + 2AC^2 - BC^2) = 1/2 √(26^2 + 29^2 - 12^2) = 1/2 √(72 + 162 - 144) = 1/2 √90 = 3√10.

Так как MK=AM, то MK=3√10.

Теперь находим периметр четырёхугольника ABCK:
ABCK = AB + BC + CK + AK = 6 + 12 + 3√10 + 3√10 = 18 + 6√10 = 44.

Итак, периметр четырёхугольника ABCK равен 44.