Для доказательства данного тождества, воспользуемся формулами для косинуса и синуса суммы углов:

cos(a ± b) = cos(a)cos(b) ∓ sin(a)sin(b)
sin(a ± b) = sin(a)cos(b) ± cos(a)sin(b)

Рассмотрим левую часть тождества: cos(4α) - sin(4α)

cos(4α) = cos(2α + 2α) = cos(2α)cos(2α) - sin(2α)sin(2α) = (cos^2(2α) - sin^2(2α))
sin(4α) = sin(2α + 2α) = sin(2α)cos(2α) + cos(2α)sin(2α) = 2sin(2α)cos(2α)

Тогда,

cos(4α) - sin(4α) = (cos^2(2α) - sin^2(2α)) - 2sin(2α)cos(2α)
= cos(2α)cos(2α) - sin(2α)sin(2α) - 2sin(2α)cos(2α)
= cos(2α)cos(2α) - sin(2α)sin(2α) - 2sin(2α)cos(2α)
= cos(2α)(cos(2α) - 2sin(2α))

Теперь рассмотрим правую часть тождества: cos(2α) - sin(2α)

Из формулы для косинуса и синуса суммы углов,
cos(2α) - sin(2α) = cos(α + α) - sin(α + α) = cos(α)cos(α) - sin(α)sin(α) = cos^2(α) - sin^2(α) = cos(α)(cos(α) - sin(α))

Таким образом, получаем, что левая часть равна правой части, что и требовалось доказать.