1) Для нахождения длины третьей стороны равнобедренного треугольника можно воспользоваться теоремой Пифагора. Пусть одна из сторон равна 3 см (основание), а другая сторона равна 1 см (боковая сторона). Обозначим третью сторону как х. Так как треугольник равнобедренный, то у нас получится два прямоугольных треугольника со сторонами 1, х и h, где h - это высота проведенная из вершины треугольника. По теореме Пифагора:

3^2 = 1^2 + h^2
h = √8

Теперь вычислим высоту треугольника:

h = √8 ≈ 2.83 см

2) В равнобедренном треугольнике угол между основанием и высотой равен 90 градусов (так как основание делит угол над основанием пополам), а угол при вершине треугольника равен 150 градусов. Таким образом, у нас получается прямоугольный треугольник, где известны гипотенуза (14 см) и угол между гипотенузой и высотой (90 градусов). Теперь можем использовать тригонометрию:

sin 150 = h / 14
h = 14 sin 150
h ≈ 14 0.5
h ≈ 7 см

Таким образом, высота, проведенная к боковой стороне равнобедренного треугольника, равна 7 см.

3) Для доказательства этого утверждения рассмотрим любой треугольник со сторонами a, b и c. По неравенству треугольника, сумма двух сторон треугольника должна быть больше третьей стороны. То есть:

a + b > c
a + c > b
b + c > a

Если подставить значения в эти неравенства, то можно увидеть, что любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.