Для начала найдем высоту треугольника MNP, которая является медианой, проведенной к стороне MP. Поскольку треугольник MNP является равносторонним, то медиана также является высотой и делит сторону MP пополам.

Получаем, что высота треугольника MNP равна 6 см.

Теперь найдем площадь треугольника MNP. Площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле:

S = (a^2 * √3) / 4

где а - длина стороны треугольника.

S = (12^2 * √3) / 4 = 36√3 см^2

Площадь треугольника также можно найти по формуле:

S = (ah) / 2

где a - длина стороны треугольника, h - высота треугольника.

36√3 = (12h) / 2

h = 6√3

Теперь найдем радиус вписанной окружности в треугольник MNP. Радиус вписанной окружности равен отношению площади треугольника к полупериметру треугольника.

r = S / p

где r - радиус вписанной окружности, S - площадь треугольника, p - полупериметр треугольника.

p = (3 * 12) / 2 = 18

r = (36√3) / 18 = 2√3

Таким образом, радиус вписанной в треугольник MNP окружности равен 2√3 см.