Обозначим катеты прямоугольного треугольника как (AC = a) и (BC = b), а гипотенузу как (AB = c).

Из условия задачи имеем:
[
\begin{cases}
c \cdot \frac{4}{13} = \frac{a \cdot 11}{13}, \
c \cdot \frac{8}{13} = \frac{b \cdot 11}{13}.
\end{cases}
]

Отсюда найдем, что (a = \frac{11}{4} \cdot 11 = \frac{121}{4}) дм и (b = \frac{11}{8} \cdot 8 = 11) дм.

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
[c^2 = a^2 + b^2,]
[c^2 = \left(\frac{121}{4}\right)^2 + 11^2 = \frac{14641}{16} + 121 = \frac{14641 + 1936}{16} = \frac{16577}{16}.]

Таким образом, сторона (c) равна (\sqrt{\frac{16577}{16}} = \frac{\sqrt{16577}}{4}) дм.

Итак, стороны треугольника равны:

(AB = \frac{\sqrt{16577}}{4}) дм,(AC = \frac{121}{4}) дм,(BC = 11) дм.