Для начала найдем радиус вписанной сферы в треугольную боковую грань пирамиды.

Пусть сторона четырехугольной пирамиды равна a = 6√2 см.

Так как у нас правильная пирамида, то боковые грани являются равнобедренными треугольниками. Рассмотрим одну из боковых граней пирамиды:

Пусть радиус описанной окружности боковой грани равен r, высота боковой грани равна h, а сторона боковой грани равна a.

Так как у нас равнобедренный треугольник, то проведем биссектрису угла между основанием и боковой гранью. Эта биссектриса является высотой треугольника.

Получаем два равнобедренных прямоугольных треугольника со сторонами r, r, h и a/2, h, r.

По теореме Пифагора для каждого из этих треугольников имеем:
r^2 + (a/2)^2 = h^2,
r^2 + h^2 = (a-r)^2.

Выразим r и h из этих уравнений:
h^2 = r^2 + (a/2)^2,
h^2 = (a-r)^2 - r^2.

Подставим выражение для h^2 из первого уравнения во второе:
r^2 + (a/2)^2 = (a-r)^2 - r^2,
r^2 + a^2/4 = a^2 - 2ar + r^2 - r^2,
a^2/4 = a^2 - 2ar,
0 = 3a^2 - 8ar.

Отсюда получаем:
a = 8r/3.

Теперь можем найти радиус описанной окружности прямоугольной боковой грани пирамиды:

r = a / (8/3) = 3/8 * 6√2 = 9√2 / 4 = 9√2/4 см.

Теперь найдем радиус вписанной сферы по формуле:

r_sphere = r / √2 = (9√2/4) / √2 = 9/4 см.

Итак, радиус вписанной сферы равен 9/4 см.