Для начала найдем значение катета АН.

Так как sin угла A = противолежащий катет / гипотенуза, то sin A = AN / AC.
Теперь найдем значение гипотенузы AC, применив теорему Пифагора: AC^2 = BC^2 + AB^2.
Так как угол С прямой, то AC = BC.

Значит, AC = 12.

Теперь можем найти значение катета AN:
sin A = AN / AC,
3/4 = AN / 12,
AN = 9.

Ответ: AN = 9.