Для доказательства обоих утверждений рассмотрим ромб ABCD.

Доказательство взаимной перпендикулярности диагоналей:

Пусть точка пересечения диагоналей ромба равна O. Так как ромб является параллелограммом, то диагонали равны между собой и точка O делит каждую из диагоналей пополам.

Предположим, что диагонали не перпендикулярны. Тогда рассмотрим треугольник AOB. Так как OA и OB - радиусы круга, с центром O и равными радиусами, они равны между собой, и угол AOB должен быть равным 90 градусов (так как в правильном треугольнике угол между радиусом к кругу и касательной к окружности составляет 90 градусов).

Аналогично, угол ABO также будет равен 90 градусов. Получаем, что треугольник AOB равносторонний, что противоречит тому, что O - точка пересечения диагоналей ромба.

Таким образом, диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Доказательство того, что диагонали являются биссектрисами углов ромба:

Рассмотрим два треугольника AOB и COD. Так как OA = OB и OC = OD (диагонали ромба равны между собой), а также угол AOB = угол COD (все углы ромба равны между собой), треугольники AOB и COD равнобедренные.

Из равнобедренности треугольников следует, что угол OAB = угол OBA и угол ODC = угол OCD.

Таким образом, диагонали ромба ABCD являются биссектрисами его углов.

Таким образом, диагонали ромба взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его углов.