Обозначим длину отрезка $AB$ как $x$. Тогда $AM = 3x$.

Так как точка $M$ лежит на серединном перпендикуляре отрезка $AB$, то $AM = MB$.

Периметр треугольника $AMB$ равен сумме длин сторон $AM$, $MB$ и $AB$, то есть $3x + 3x + x = 42 \Rightarrow 7x = 42 \Rightarrow x = 6$.

Таким образом, длина отрезка $AB$ равна 6 см.