Поскольку треугольник ABC является равнобедренным и угол при основании равен 30 градусам, то у нас есть равнобедренный треугольник 30-60-90.

Из свойств такого треугольника мы знаем, что длина гипотенузы (AC) равна удвоенной длине основания (AB), а длина высоты, проведенной из вершины угла 30 градусов к основанию (BC), равна половине длины гипотенузы.

Таким образом, длина гипотенузы AC равна 2 * √2 = √8, а длина высоты BC равна √8 / 2 = √2.

Теперь можем найти периметр треугольника ABC:

AC = √8
AB = √2
BC = √2

Периметр P = AB + AC + BC = √2 + √8 + √2 = 2√2 + √8 = 2√2 + 2√2 = 4√2.

Итак, периметр треугольника ABC равен 4√2.