Для нахождения диагоналей параллелепипеда можно воспользоваться теоремой Пифагора.

По условию, боковое ребро прямого параллелепипеда равно 5 дм. Значит, одна из диагоналей каждой грани параллелепипеда равна 5 дм.

Также известно, что стороны основания прямоугольника равны 6 дм и 8 дм, а одна из диагоналей основания равна 12 дм. Значит, другая диагональ основания равна:

$$d_1=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10\text{дм}.$$

Теперь можно найти диагонали параллелепипеда. Поскольку диагонали параллелепипеда и диагонали основания образуют прямоугольный треугольник, диагонали параллелепипеда равны:

$$D_1=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13\text{дм}.$$ $$D_2=\sqrt{10^2+5^2}=\sqrt{100+25}=\sqrt{125}=5\sqrt{5}\text{дм}.$$

Ответ: Диагонали параллелепипеда равны 13 дм и 5√5 дм.