Пусть длины сторон параллелепипеда равны a, b, c, тогда диагональ параллелепипеда равна:

d^2 = a^2 + b^2 + c^2

Так как длина диагонали равна 12 см, имеем

144 = a^2 + b^2 + c^2

Также из условия задачи можно выразить стороны a, b, c через длину диагонали и углы:

cos$30$ = a/d, => a = 12 cos$30$ = 12 sqrt$3$/2 = 6sqrt$3$ cos$45$ = b/d, => b = 12 cos$45$ = 12 sqrt$2$/2 = 6sqrt$2$

То есть имеем
a = 6sqrt$3$ см
b = 6sqrt$2$ см

Подставим значения a и b:
144 = $6<em>sqrt(3)$^2 + $6</em>sqrt(2)$^2 + c^2
144 = 108 + 72 + c^2
144 = 180 + c^2
c^2 = 36
c = 6 см

Таким образом, объем параллелепипеда равен:

V = a b c = 6sqrt$3$ 6sqrt$2$ 6 = 216√6 см^3.