Для начала найдем координаты точек А, B, C и D. Пусть A$0,0,0$, B$12,0,0$, С$6,3\surd 3,0$, D$6,3\surd 3,6\surd 2$.

Точка М является серединой ребра BD, поэтому ее координаты будут $9,0,3\surd 2$.

Так как точка P делит ребро AC в отношении 5:7, то мы можем найти координаты точки P:
Px = $7<em>6+5</em>0$ / 12 = 21/6 = 3.5,
Py = $7<em>3\surd 3+5</em>0$ / 12 = 21√3 / 12 = 7√3 / 4,
Pz = $7<em>0+5</em>0$ / 12 = 0.

Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через P и параллельной МС:
x = 3.5 + t,
y = 7√3 / 4 + kt,
z = 0.

Подставим координаты точек M и C в уравнение прямой и найдем t и k:
9 = 3.5 + t,
0 = 7√3 / 4 + kt,
3√2 = 0.

Отсюда получаем t = 5.5, k = -2√3.

Теперь найдем координаты точки пересечения прямой и плоскости ABCD:
x = 5.5,
y = 7√3 / 4 - 2√3*5.5 = 7√3 / 4 - 11√3 = -4√3,
z = 0.

С точками $5.5,-4\surd 3,0$ и P$3.5,7\surd 3/4,0$ мы можем найти длину отрезка прямой, заключенного внутри тетраэдра, с помощью формулы расстояния между двумя точками в пространстве:
d = √$(5.5-3.5{)}^2+(-4\surd 3-7\surd 3/4{)}^2+0^2$ = √$2^2+(-(16\surd 3+7\surd 3)/4{)}^2$ = √$4+(9\surd 3{)}^2/16$ = √$4+243/16$ = √$259/16$ = √259 / 4.

Итак, длина отрезка прямой, заключенной внутри тетраэдра, равна √259 / 4.