Для начала найдем координаты вершин треугольника ABC.

Пусть A(0, 0), B(4, 0), C(0, 6).

Найдем уравнение прямой, проходящей через точки A и C:

Уравнение прямой будет иметь вид y = kx, где k - угловой коэффициент.

Имеем уравнение прямой x/0 = y/6 => x = y/6.

Из условия проходит через точку A(0, 0):

0 = 0/6 => 0 = 0, значит уравнение прямой проходит через точку A.

Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через точки S и C:

Угол BCS прямой, значит угол BSA = 90 градусов.

Следовательно, вектор SC и вектор BS перпендикулярны.

Найдем координаты точки S:

Точка S лежит на прямой BC.

SC = (4, 6) => S(4, 6)

Точка L - середина SC:

L((0 + 4)/2, (0 + 6)/2) = L(2, 3).

Уравнение прямой проходящей через точки S и C:

y = 2x.

Теперь найдем координаты точки M - середину AC:

M((0 + 0)/2, (0 + 6)/2) = M(0, 3).

Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через точки B и M:

Угол CBM прямой, значит угол IBM = 90 градусов.

Следовательно, вектор BM и вектор IB перпендикулярны.

Уравнение прямой проходящей через точки B и M:

x = 4.

Теперь найдем уравнение плоскости BLM. Для этого найдем векторы BM и BL:

BM = (0 - 4, 3 - 0, 6 - 0) = (-4, 3, 6).

BL = (2 - 4, 3 - 0, 3 - 0) = (-2, 3, 3).

Найдем векторное произведение векторов BM и BL:

N = (-4 3 - 3 3, -4 3 - 3 (-2), 3 3 - (-4 (-2))) = (-12 - 9, -12 + 6, 9 + 8) = (-21, -6, 17).

Теперь подставим координаты точки C(0, 6, 0) в уравнение плоскости:

-21 0 - 6 6 + 17 * 0 + D = 0.

D = 36.

Таким образом, уравнение плоскости BLM имеет вид -21x - 6y + 17z + 36 = 0.

Теперь найдем расстояние от точки C до плоскости BLM:

d = |Ax + By + Cz + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2),

где A, B, C - коэффициенты перед x, y, z в уравнении плоскости, D - свободный член.

Подставляем координаты точки C(0, 6, 0):

d = |0 - 6 6 + 17 0 + 36| / sqrt((-21)^2 + (-6)^2 + 17^2) = |36 - 36| / sqrt(441 + 36 + 289) = 0 / sqrt(766) = 0.

Таким образом, расстояние от точки C до плоскости BLM равно 0.