Для нахождения площади треугольника можно воспользоваться формулой полупериметра и радиуса вписанной окружности:

Полупериметр треугольника: p = (AB + BC + AC) / 2 = (12 + 13 + AC) / 2 = (25 + AC) / 2.

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности: S = p * r,

где r - радиус вписанной окружности, который можно найти по формуле: r = S / p.

По условию задачи известно, что AB = 12, BC = 13. Пусть AC = x.

Таким образом, p = (25 + x) / 2.

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности равна: S = (25 + x) / 2 * r.

Теперь найдем радиус вписанной окружности:

p = (12 + 13 + AC) / 2 = (25 + x) / 2.

S = 12 * 13 / 2 = 78.

r = S / p = 78 / (25 + x) / 2 = 156 / (25 + x).

Таким образом, S = (25 + x) / 2 * 156 / (25 + x) = 78.

Получаем, что S = 78. Значит, площадь треугольника ABC равна 78 единиц.