Для начала заметим, что по условию треугольники ABC и ADC равнобедренные, то есть AC = BC и AC = DC.

Поскольку BD - серединный перпендикуляр к AC, то BD делит AC пополам, то есть AC = 2BD.

Поскольку AC = BC и AC = DC, то BC = DC.

Таким образом, мы получили равенство двух сторон треугольника BCD - BC = DC. Так как эти две стороны равны, треугольник BCD равнобедренный, а значит, угол CBD = угол CDB.

Так как BD - перпендикуляр к AC, а углы CBD и CDB равны, то треугольник BCD прямоугольный, а прямая BD действительно является серединным перпендикуляром к отрезку AC.