Обозначим AB = BC = a. Так как треугольник ABC равнобедренный, то BN - медиана, а следовательно, и биссектриса. Пусть BN = h. Тогда AO = x и OD = y.

Из подобия треугольников AOM и BON получаем:
AO/BO = AM/BN = MO/NO.
По условию, BO = 6k, NO = 5k, MO = 6k + 5k = 11k.

Из подобия треугольников OBN и OCR получаем:
OB/OC = ON/OR = BN/CR.
OC = a, BN = h, CR = h.
Получаем, что OB/a = 5/CR, или OB = a*5/h.

Таким образом, 6k = 5a/h и k = 5a/6h = NO/BN. Получаем, что NO = (1/2)h.

Из теоремы Пифагора:
h^2 + (a/2)^2 = a^2,
h^2 + a^2/4 = a^2,
h^2 = 3a^2/4,
h = a*sqrt(3)/2.

Из предыдущего равенства:
6k = 5a/(asqrt(3)/2),
6k = 10/(sqrt(3)/2),
6k = 20/sqrt(3),
k = 20/(6sqrt(3)),
k = 10/sqrt(3) = 10*sqrt(3)/3.

Теперь находим AO и OD:
AO = 11k = 1110sqrt(3)/3 = 110sqrt(3)/3,
OD = 5k = 50sqrt(3)/3.

Итак, АО : OД = 110 : 50 = 11 : 5.