Для начала заметим, что биссектрисы углов трапеции являются также высотами. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $ADC$.

Точка $K$ лежит на биссектрисе угла $BCA$ треугольника $ABC$, следовательно, она равноудалена от сторон $AB$ и $BC$.

Точка $K$ является точкой пересечения биссектрис углов $B$ и $C$ треугольника $ABC$, а также биссектрисы угла $A$ треугольника $ADC$. Следовательно, она равноудалена от всех сторон треугольника $ADC$.

Таким образом, точка $K$ равноудалена от прямых $AB$, $BC$ и $AD$.