1) Поскольку точки M и N являются серединами ребер AD и CD соответственно, то MN параллельна сторонам куба AD и CD и перпендикулярна к стороне AB. Таким образом, прямая MN параллельна плоскости AA1C.

2) Пусть правильная пирамида ABCDEFGH имеет вершину A и основание ABCD. Пусть M и N - середины ребер AB и CD соответственно. Тогда обозначим точки O и P - середины отрезков EF и GH соответственно. Поскольку OM и ON - векторы в плоскости основания, то они перпендикулярны прямым MN, EF и CD. Таким образом, углы между боковыми рёбрами и плоскостью основания пирамиды будут равны.

3) Площадь сечения призмы плоскостью MRPK можно вычислить как произведение длины отрезка MK на высоту призмы, которая равна MP1 $таккактреугольникMPM1прямоугольныйсуглом45градусов$ умноженную на синус угла между плоскостями сечения и основания. Таким образом, площадь сечения равна 12 12 sin$45°$.