Площадь вписанного круга в равнобедренном треугольнике равна $S_k=r^2\pi$, где $r$ - радиус вписанного круга. Так как площадь круга равна 65 см${}^2$, то $r=\sqrt{\frac{S_k}{\pi }}=\sqrt{\frac{65}{\pi }}$.

Площадь равнобедренного треугольника равна $S=\frac{1}{2}\times b\times h$, где $b$ - основание, $h$ - высота. В данном случае высота равна медиане, то есть $h=25$.

Так как треугольник равнобедренный, то высота делит его на два прямоугольных треугольника. Поэтому площадь треугольника равна $S=2\times \frac{1}{2}\times 25\times x$, где $x$ - половина основания.

Из теоремы Пифагора найдем значение $x$: $x^2+25^2=(\frac{b}{2}{)}^2$

Подставив значения и решив уравнение, найдем $x$.

Зная $x$, можно найти площадь треугольника $S=2\times \frac{1}{2}\times 25\times x$.

Пусть треугольник ABC имеет сторону AC = 50 см, высоту, проведенную к AC, равную 24 см, и медиану BD, равную 25 см. Периметр треугольника равен сумме длин его сторон:

$$P=AB+BC+AC$$

Так как медиана делит треугольник на два равнобедренных треугольника, то площадь треугольника ABC можно найти как сумму площадей этих двух треугольников:

$$S=S_1+S_2=\frac{1}{2}\times AB\times 24+\frac{1}{2}\times BC\times 24$$

Используя формулу площади треугольника $S=\frac{1}{2}\times b\times h$, мы знаем что:

$$\frac{1}{2}\times AB\times 24+\frac{1}{2}\times BC\times 24=\frac{1}{2}\times AC\times 24$$

Отсюда найдем сумму сторон треугольника ABC:

$$AB+BC=AC$$

$$AB+BC=50$$

Также в равнобедренном треугольнике медиана к основанию равна половине основания $25см$, поэтому:

$$AB=BC=25$$

Отсюда найдем периметр треугольника:

$$P=AB+BC+AC=25+25+50=100$$

Итак, периметр равен 100 см.