Для начала, найдем длину стороны AC по теореме косинусов:

AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2ABBC*cos(∠A)

AC^2 = (14√3)^2 + BC^2 - 214√3BC*cos(30°)

AC^2 = 588 + BC^2 - 28BC

Также, зная что ∠B=60°, находим ∠C=180° - 30° - 60° = 90°.

Теперь найдем площадь треугольника ABC как произведение половины произведения двух сторон на синус угла между ними:

S = (1/2)ABAC*sin(∠B)

S = (1/2)14√3√(588 + BC^2 - 28BC)*sin(60°)

S = 98√3sin(60°) + 7√3BCsin(60°)

S = 98√3√3/2 + 7√3BC√3/2

S = 147 - 21√3BC

Также, площадь треугольника можно выразить через сторону и проведенную к этой стороне высоту:

S = (1/2)ABh

h = 2S/AB

h = 2(147 - 21√3BC)/(14√3)

С другой стороны, площадь треугольника также равна:

S = (1/2)ACh

h = 2S/AC

h = 2(147 - 21√3BC)/(√588 + BC^2 - 28BC)

Таким образом, получаем уравнение:

2(147 - 21√3BC)/(14√3) = 2(147 - 21√3BC)/(√588 + BC^2 - 28BC)

Упростим его:

√588 + BC^2 - 28BC = 14√3

588 + BC^2 - 28BC = 588*3

BC^2 - 28BC - 1764 = 0

Решив это квадратное уравнение, получим два корня: BC1 = 42 и BC2 = 42, следовательно секущая равна 42.

Теперь можем найти значение h:

h = 2(147 - 21*42)/(14√3) = 2(21)/√3 = 42/√3 = 14√3.

Итак, высота, проведенная из вершины наибольшего угла треугольника ABC, равна 14√3.