Для решения этой задачи, нам необходимо найти высоту правильной четырехугольной пирамиды, после чего мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения бокового ребра.

Заметим, что для правильной четырехугольной пирамиды, высота вписанной пирамиды равна половине диагонали основания. Поэтому можем найти диагональ основания, используя формулу:
d = asqrt(2), где a - сторона основания
d = 12sqrt(2) = 16.97 см.

Теперь можем найти высоту пирамиды, зная апофему и диагональ основания:
h = sqrt(ap^2 - d^2) = sqrt(225 - 144) = sqrt(81) = 9 см.

Теперь, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного боковым ребром, высотой пирамиды и половиной стороны основания:
b = sqrt(h^2 + (a/2)^2) = sqrt(9^2 + 6^2) = sqrt(81 + 36) = sqrt(117) = 10.82 см.

Таким образом, боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 10.82 см.