Для решения данной задачи нужно найти объем параллелепипеда, ограниченного плоскостью и цилиндром вращения.

Обозначим радиус цилиндра как R, высоту цилиндра как h, угол наклона диагонали к плоскости как α и периметр осевого сечения как γ.

Периметр осевого сечения цилиндра равен длине окружности основания, то есть:
γ = 2πR

Диагональ основания цилиндра равна:
d = 2R

Высота цилиндра выражается через длину диагонали основания и угол наклона по формуле:
h = d * sin(α)

Таким образом, объем цилиндра V будет равен объему параллелепипеда, а именно:
V = S h,
где S - площадь основания цилиндра, а h - его высота.
Тогда объем цилиндра будет равен:
V = πR^2 d sin(α)
V = πR^2 2R *sin(α)
V = 2πR^3sin(α)

Таким образом, объем цилиндра равен 2πR^3sin(α) .