Пусть h - высота призмы, тогда можем разделить диагональ на две составляющие:
одна из них равна a, а другая равна hsin(α) (по определению синуса угла).
Так как диагональ является гипотенузой, можем составить уравнение:
(hsin(α))^2 + a^2 = d^2, где d - длина диагонали.

Так как призма правильная, то длина диагонали равна 2а, значит:
(hsin(α))^2 + a^2 = (2a)^2,
h^2sin^2(α) + a^2 = 4a^2,
h^2 = 4a^2 - a^2sin^2(α),
h = a sqrt(4 - sin^2(α)),
h = a sqrt(4 - (1-cos^2(α))),
h = a sqrt(4 - 1 + cos^2(α)),
h = a * sqrt(3 + cos^2(α)).

Таким образом, высота призмы равна h = a * sqrt(3 + cos^2(α)).