Для начала заметим, что медиана к стороне с треугольника делит данную сторону на две равные части. Пусть точка D - середина стороны c, а точка M - точка пересечения медианы с стороной c (точка M лежит на стороне c и делит ее на две равные части).
Тогда AC = 2AM (по свойствам медианы), AD = DC = c/2 (AD и DC - расстояния от точки M до концов стороны c).
Из прямоугольного треугольника ADM следует:
AM² + DM² = AD² = (c/2)² = c²/4,
По теореме Пифагора в треугольнике ADM:
AM² = AD² + DM²,
DM = √(AM² - AD²) = √(AM² - c²/4).
Также, из прямоугольного треугольника DMC:
CM² = (DC + DM)² = c²/4 + 2DMDC = c²/4 + c√(AM² - c²/4) = (c² + 4c√(AM² - c²/4))/4.
Из равенства AC = 2AM следует, что BC = AC - AB = 2AM - 2BM = 2(MA - MB). Так как точки D и M – середины отрезков AB и AC, то BM = MD. Из этого следует, что BC = 2MA. Также, так как BC=2MA, то B=2M мы можем выразить с использованием теоремы Пифагора:
c² = AB² + AC² = (2MB)² + (2MA)² = 4MB² + 4MA²,
c² = 4(MB² + MA²) = 4MA² + 4MD² = 4AM² + DM²,
Приведем всё в общий вид:
4AM² + DM² = c²,
4AM² + (AM² - c²/4) = c²,
5AM² = 5c²/4,
AM² = c²/4,
AM = c/2 = AD.
Перейдем к искомому равенству:
m = AM = c/2 = √(c²/4) = √((2в)²) = 0.5√(2b² + 2c² - c²)
Таким образом, равенство m = 0.5√(2a² + 2b² - c²) доказано.