Для решения данной задачи нам необходимо расчитать длины двух известных сторон треугольника, а затем найти периметр.

Пусть первая сторона треугольника равна 5x, а вторая сторона равна 8x. Тогда, с учетом того, что угол между ними равен 60 градусам, можем воспользоваться косинусом этого угла для нахождения длин сторон.

cos(60) = (5x)^2 + (8x)^2 - 21^2 / (2 5x 8x)
0.5 = 25x^2 + 64x^2 - 441 / 80x
89x^2 - 441 = 40x
89x^2 - 40x - 441 = 0
Далее, решаем квадратное уравнение и находим x:

x = (40 +- sqrt(40^2 - 4 89 -441)) / 2 * 89
x = (40 +- sqrt(1600 + 156372)) / 178
x = (40 +- sqrt(157972)) / 178
x = (40 +- 397) / 178

Получаем два значения x: x1 ≈ 2.22 и x2 ≈ -2.71. Так как стороны не могут быть отрицательными, выбираем значение x1.

Теперь находим длины сторон:
Первая сторона: 5x1 ≈ 11.11 см
Вторая сторона: 8x1 ≈ 17.78 см

Теперь можем найти периметр треугольника:
11.11 + 17.78 + 21 = 49.89 см

Ответ: Периметр треугольника равен приблизительно 49.89 см.