Пусть прямоугольный треугольник ABC имеет гипотенузу AC, высоту из вершины C, опущенную на гипотенузу - H, и катеты AB и BC.

Пусть точка D - основание высоты H на гипотенузе AC. Тогда треугольники ADB и BDC подобны треугольнику ABC по признаку угловой замене (т.к. у них общий угол D, вертикальный угол в треугольнике ABC и прямой угол в треугольниках ADB и BDC).

Тогда AD/DB = AB/BC и CD/DB = BC/AB (из подобия треугольников). Умножим эти равенства:

ADCD/(DB)^2 = (ABBC)/(BCAB)
ADCD = (DB)^2

Отсюда получаем, что AD*DC = (DB)^2 - то есть треугольник ADB оказывается подобным треугольнику CBD, что и требовалось доказать.

Таким образом, высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой.