Для решения данной задачи нам необходимо вычислить высоту призмы.

Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы можно найти по формуле:
S = (периметр основания * высоту боковой грани) / 2

Для правильной треугольной призмы периметр основания равен 3 * a, где а - сторона треугольника.

Из условия известно, что площадь боковой поверхности равна 48, а высота основания равна 4 см. Заметим, что боковая сторона треугольника является гипотенузой, а высота правильной треугольной призмы является катетом.

Теперь составим уравнение:
48 = (3 a h) / 2
48 = 3ah / 2
96 = 3ah
32 = ah

Так как сторона треугольника равна катету, то мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник с катетами a и h. Воспользуемся теоремой Пифагора:
a^2 + h^2 = 4^2
a^2 + h^2 = 16

Также мы знаем, что a = 32 / h. Подставим это значение в уравнение:
(32 / h)^2 + h^2 = 16
32^2 / h^2 + h^2 = 16
1024 / h^2 + h^2 = 16

Перепишем это уравнение в виде:
1024 + h^4 = 16h^2

Решим это уравнение и найдем высоту призмы h.