Докажем это следующим образом:

Проведем дуги AB и CD, соединив их концы с центром окружности O. Таким образом, углы AOB и COD будут опираться на одинаковую дугу AB и CD соответственно.

Так как хорды AC и BD пересекаются в точке P, то получаем, что угол APB смежен с углами AOB и COD.

Из свойств хорд мы знаем, что угол, вписанный в окружность и опирающийся на хорду, равен половине угла, опирающегося на эту же хорду, но выходящего из центра окружности.

Таким образом, получаем, что угол APB равен полусумме угловых величин дуг AB и CD.

Таким образом, угол APB равен полусумме угловых величин дуг AB и CD.