Обозначим точки: A $0,0$, B $4,0$, C $4,h$, D $0,h$, где h - высота прямоугольника.

Найдем координаты точки O:
Середина диагонали AC имеет координаты $(0+4)/2,(0+h)/2$ = $2,h/2$,
Середина диагонали BD имеет координаты $(4+0)/2,(0+h)/2$ = $2,h/2$.
Таким образом, координаты точки O равны $2,h/2$.

Используем формулу для нахождения длины вектора: |v| = sqrt$x^2+y^2$, где v - вектор, x и y - его координаты.

Вектор AO имеет координаты $2-0,h/2-0$ = $2,h/2$,
Тогда |AO| = sqrt$2^2+(h/2{)}^2$ = sqrt$4+h^2/4$ = sqrt$4+h^2$/2.

Аналогично, вектор BO имеет координаты $2-4,h/2-0$ = $-2,h/2$,
Тогда |BO| = sqrt$(-2{)}^2+(h/2{)}^2$ = sqrt$4+h^2/4$ = sqrt$4+h^2$/2.

Таким образом, длины векторов AO и BO равны sqrt$4+h^2$/2.