Сначала найдем длину отрезка AM. По условию, A1M:MD1=1:4, значит AM=1, MD1=4.
Теперь рассмотрим треугольник AMD. По теореме Пифагора:
AD^2 = AM^2 + MD^2
AD^2 = 1^2 + 4^2
AD = √$1+16$ = √17

Теперь найдем синус угла φ между прямой AM и плоскостью $BB1D1D$. Для этого найдем косинус этого угла, он равен проекции вектора AM на нормаль к плоскости, деленной на длину вектора AM.

Косинус угла φ = $AM\bullet n$ / $|AM|$ AM - вектор направленный от A к M, примем его за вектор $1,0,4$, n - нормаль к плоскости $BB1D1D$, чтобы найти нормаль, достаточно взять векторное произведение отрезков BB1 и BD1.
BB1 = $0,1,1$ BD1 = $1,1,1$ n = BB1 x BD1
n = $1<em>i-1</em>j+1<em>k$ = n$i+j+k$ Произведение найдем по правилу векторного произведения матриц:
$nx,ny,nz$ = $1<em>1-1</em>1$i + $-(1<em>1-1</em>1)$j + $1<em>1-(-1</em>1)$k = 0i - 0j + 2k
$nx,ny,nz$ = $0,0,2$

Теперь найдем скалярное произведение: AMnx+AMny+AMnz = $1</em>0+0+4\ast 2$ = 8

Теперь найдем длину вектора AM: |AM| = √$1^2+0^2+4^2$ = √17

Тогда косинус угла φ = 8 / √17

И наконец, синус угла φ = sin$\phi$ = √$1-co{s}^2(\phi )$ = √$1-(8/\surd 17{)}^2$ ≈ 0,746.