Для нахождения радиуса вписанной окружности треугольника можно воспользоваться формулой:

[ r = \frac{S}{p}, ]

где ( S ) - площадь треугольника, а ( p ) - полупериметр треугольника.

Для начала найдем площадь треугольника через формулу Герона:

[ S = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)}, ]

где ( a ), ( b ) и ( c ) - стороны треугольника, а ( p = \frac{a + b + c}{2} ).

В нашем случае сторона треугольника ( a = 6 ), так как длина стороны равна 6. Полупериметр треугольника ( p = \frac{6 + 6 + 2r}{2} = 6 + r ), так как ( 2r ) - это диаметр описанной окружности.

Теперь подставим все значения в формулу для нахождения площади треугольника:

[ S = \sqrt{(6 + r) \cdot (6) \cdot (6) \cdot (6 - r)}, ]

Далее найдем площадь треугольника через формулу Герона. Сначала найдем полупериметр:

[ p = \frac{6 + 6 + 2r}{2} = 6 + r, ]

Теперь найдем площадь:

[ S = \sqrt{(6 + r) \cdot r \cdot r \cdot (6 - r)}, ]

[ S = \sqrt{r \cdot r \cdot r \cdot r}, ]

[ S = r^2. ]

Теперь найдем радиус вписанной окружности:

[ r = \frac{r^2}{6 + r}, ]

[ r(6 + r) = r^2, ]

[ 6r + r^2 = r^2, ]

[ 6r = 0, ]

[ r = 0. ]

Таким образом, радиус вписанной окружности треугольника равен 0.