Пусть ABC - правильный треугольник, в который вписана окружность радиуса r - окружность вписанная, и около которой описана окружность радиуса R - описанная окружность.

Заметим, что радиус вписанной окружности равен расстоянию от центра окружности до стороны треугольника, а радиус описанной окружности равен расстоянию от центра окружности до вершины треугольника.

Построим биссектрису угла A треугольника ABC. Так как треугольник ABC - равносторонний, то биссектриса также является медианой и высотой. Она пересекает сторону BC треугольника в точке D, которая делит сторону на две равные части.

Таким образом, радиус вписанной окружности r равен расстоянию от центра окружности до стороны треугольника, то есть r = AD.

Радиус описанной окружности R равен расстоянию от центра окружности до вершины треугольника, то есть R = AD + BD.

Так как треугольник ABC - равносторонний, то BD = DC = AD/2.

Подставим это равенство в формулу для радиуса описанной окружности: R = AD + AD/2 = 3/2 * AD.

Таким образом, R = 3/2 * r.

Отсюда следует, что радиус описанной окружности в 3/2 раза больше радиуса вписанной окружности.