Площадь ортогональной проекции прямоугольного треугольника на плоскость, образующую с плоскостью треугольника угол $\alpha$, вычисляется по формуле:
$$S' = S \cdot \cos(\alpha)$$

где $S$ - площадь исходного треугольника, $S'$ - площадь его проекции.

Площадь прямоугольного треугольника равна:
$$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 9 = 27\text{ см}^2$$

У нас имеется прямоугольный треугольник с катетами 6 и 9 см, значит, его гипотенуза равна:
$$\sqrt{6^2 + 9^2} = \sqrt{36 + 81} = \sqrt{117} = 3\sqrt{13}\text{ см}$$

Теперь найдем угол $\alpha$, который образуют плоскости:
$$\cos(\alpha) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$$

Теперь вычислим площадь ортогональной проекции треугольника:
$$S' = S \cdot \cos(\alpha) = 27 \cdot \frac{1}{2} = 13.5\text{ см}^2$$

Таким образом, площадь ортогональной проекции прямоугольного треугольника на плоскость, которая образует с плоскостью треугольника угол 60 градусов, равна 13.5 см$^2$.