Чтобы доказать, что прямая, проходящая через середины отрезков (AM) и (AR), параллельна плоскости (\alpha), начнем с обозначений и объяснений.

Обозначения:

Пусть (M) и (R) — концы отрезка (MR), который лежит в плоскости (\alpha).Пусть (A) — точка, которая образует отрезки (AM) и (AR).Точка (K) — точка, которая не лежит в плоскости (\alpha).

Середины отрезков:

Обозначим середину отрезка (AM) как (S_1) и середину отрезка (AR) как (S_2).Тогда [ S_1 = \frac{A + M}{2}, \quad S_2 = \frac{A + R}{2} ]

Векторы:

Векторы, направленные от (S_1) до (S_2):
[ \overrightarrow{S_1 S_2} = S_2 - S_1 = \left(\frac{A + R}{2}\right) - \left(\frac{A + M}{2}\right) = \frac{R - M}{2} ]

Параллельность:

Векторы (\overrightarrow{MR}) и (\overrightarrow{S_1 S_2}) направлены одинаково. Поскольку отрезок (MR) лежит в плоскости (\alpha), то он определяет нормальный вектор (\mathbf{n}) к плоскости.

Прямая, проходящая через точки (S_1) и (S_2), будет параллельна плоскости, если ее направляющий вектор (\overrightarrow{S_1 S_2}) перпендикулярен нормальному вектору плоскости (\mathbf{n}).

Учитывая, что (\overrightarrow{S_1 S_2} = \frac{R - M}{2}), можно сказать, что вектор ((R - M)) лежит в плоскости (\alpha) и соответственно, перпендикулярен нормали (\mathbf{n}).

Таким образом, прямая (S_1 S_2) параллельна плоскости (\alpha).

Теперь о визуализации:

Нарисуйте плоскость (\alpha), и отметьте точки (M) и (R) в этой плоскости.Отметьте точку (A), соедините её с (M) и (R) отрезками (AM) и (AR).Найдите середины (S_1) и (S_2) отрезков (AM) и (AR).Проведите линию между (S_1) и (S_2) — эта линия будет параллельна плоскости (MR).

Таким образом, вы получили доказательство и наглядное представление о параллельности.