Чтобы найти площадь поверхности правильного октаэдра с учетом расстояния ( d ) между противолежащими вершинами, следуем следующим шагам:

Правильный октаэдр состоит из 8 треугольных граней, каждая из которых является равносторонним треугольником.

Отношение между длиной ребра октаэдра ( a ) и расстоянием между противолежащими вершинами ( d ) можно установить следующим образом. Для октаэдра максимальное расстояние между противолежащими вершинами равно ( d = a\sqrt{2} ), где ( a ) — длина ребра. Это происходит потому, что расстояние между двумя противолежащими вершинами можно представить как диагональ в кубе, грани которого определены октаэдром.

Из этого уравнения можем выразить длину ребра:
[
a = \frac{d}{\sqrt{2}}.
]

Теперь найдем площадь одной треугольной грани октаэдра. Площадь ( S ) равностороннего треугольника со стороной ( a ) вычисляется по формуле:
[
S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2.
]

Площадь поверхности всего октаэдра ( S{\text{окт.}} ) будет равна площади одной грани, умноженной на число граней (8):
[
S{\text{окт.}} = 8 \cdot S = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = 2 \sqrt{3} a^2.
]

Подставим значение ( a ) из предыдущего шага:
[
S_{\text{окт.}} = 2\sqrt{3} \left( \frac{d}{\sqrt{2}} \right)^2 = 2\sqrt{3} \cdot \frac{d^2}{2} = \sqrt{3} d^2.
]

Таким образом, площадь поверхности правильного октаэдра в зависимости от расстояния между противолежащими вершинами ( d ) равна:
[
\boxed{\sqrt{3} d^2}.
]