Для решения задачи определим координаты вершин прямоугольного параллелепипеда ( ABCDA_1B_1C_1D_1 ):

( A(0, 0, 0) )( B(7, 0, 0) )( C(7, 6, 0) )( D(0, 6, 0) )( A_1(0, 0, 8) )( B_1(7, 0, 8) )( C_1(7, 6, 8) )( D_1(0, 6, 8) )

Плоскость ( abc_1 ) проходит через точки ( A(0, 0, 0) ), ( B(7, 0, 0) ) и ( C_1(7, 6, 8) ).

Для определения уравнения плоскости ( abc_1 ) сначала найдем два вектора, лежащие в плоскости:

Вектор ( \overrightarrow{AB} = B - A = (7, 0, 0) - (0, 0, 0) = (7, 0, 0) )Вектор ( \overrightarrow{AC_1} = C_1 - A = (7, 6, 8) - (0, 0, 0) = (7, 6, 8) )

Теперь найдем нормальный вектор к плоскости, используя векторное произведение этих двух векторов.

[
\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC_1}
]

[
\overrightarrow{n} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
7 & 0 & 0 \
7 & 6 & 8
\end{vmatrix}
]

Вычислим детерминант:

[
\overrightarrow{n} = \mathbf{i} (0 \cdot 8 - 0 \cdot 6) - \mathbf{j} (7 \cdot 8 - 7 \cdot 0) + \mathbf{k} (7 \cdot 6 - 0 \cdot 7)
]
[
= 0\mathbf{i} - 56\mathbf{j} + 42\mathbf{k} = (0, -56, 42)
]

Уравнение плоскости может быть записано в виде:

[
0(x - 0) - 56(y - 0) + 42(z - 0) = 0
]
[
-56y + 42z = 0
]
[
z = \frac{56}{42}y = \frac{4}{3}y
]

Теперь найдем точки пересечения плоскости с ребрами параллелепипеда:

Ребро ( AA_1 ) (где ( x = 0 )):

( z = \frac{4}{3}y )Так как ( y ) может принимать значения от 0 до 6:( z ) также будет в пределах от 0 до ( \frac{4}{3} \cdot 6 = 8 ).Точка пересечения: ( (0, y, \frac{4}{3}y) ) для ( y ) от 0 до 6.

Ребро ( BB_1 ) (где ( y = 0 )):

( z = 0 )( (7, 0, 0) ) — пересечение.

Ребро ( CC_1 ) (где ( y = 6 )):

( z = \frac{4}{3} \cdot 6 = 8 )Точка пересечения: ( (7, 6, 8) ).

Ребро ( DD_1 ) должен быть пересечён, но это ребро будет в другой плоскости.

Теперь используем найденные точки пересечения ( A(0, 0, 0) ), ( B(7, 0, 0) ), ( C_1(7, 6, 8) ).

Чтобы найти площадь и периметр, стоит вычислить длины сторон и координаты пересечения.

Точки пересечения с плоскостью:

( (0, 0, 0) )( (7, 0, 0) )( (7, 6, 8) )

Длина от ( (0, 0, 0) ) до ( (7, 0, 0) ) равна 7 (горизонталь).

Длина от ( (7, 0, 0) ) до ( (7, 6, 8) ):

[
d = \sqrt{(7-7)^2 + (6-0)^2 + (8-0)^2} = \sqrt{0+36+64} = 10
]

Длина от ( (0, 0, 0) ) до ( (7, 6, 8) ):

[
d = \sqrt{(7-0)^2 + (6-0)^2 + (8-0)^2} = \sqrt{49 + 36 + 64} = \sqrt{149}
]

Теперь можно вычислить периметр:

[
P = 7 + 10 + \sqrt{149} \approx 7 + 10 + 12.21 = 29.21
]

Площадь треугольника ( S ):

[
S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot \frac{8}{\sqrt{149}} \approx 7*(4)/12.21
]

Ответ: Площадь сечения (\approx 18.6), периметр (\approx 29.21).

Финальный грациозный ответ:

Площадь: 18.6Периметр: 29.21