Для треугольника с фиксированными сторонами (a) и (b) и переменным углом (\theta) между ними можно вычислить радиусы вписанной ((r)) и описанной ((R)) окружностей в терминологии сторонам (a) и (b).

Формулы для радиусов окружностей

Площадь треугольника: Площадь (S) треугольника со сторонами (a) и (b), и углом (\theta) можно выразить через формулу:
[
S = \frac{1}{2}ab \sin \theta.
]

Полупериметр: Полупериметр (p) треугольника можно выразить как:
[
p = \frac{a + b + c}{2},
]
где (c) — третья сторона треугольника. Сторона (c) может быть найдена через закон косинусов:
[
c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos \theta}.
]
Таким образом, полупериметр (p) будет:
[
p = \frac{a + b + \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos \theta}}{2}.
]

Радиус вписанной окружности: Радиус вписанной окружности (r) можно выразить через площадь и полупериметр:
[
r = \frac{S}{p} = \frac{\frac{1}{2}ab \sin \theta}{p}.
]

Радиус описанной окружности: Радиус описанной окружности (R) треугольника выражается через стороны и угол:
[
R = \frac{abc}{4S} = \frac{ab \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos \theta}}{2 \cdot \frac{1}{2}ab \sin \theta} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos \theta}}{2 \sin \theta}.
]

Исследование поведения радиусов

Теперь рассмотрим каждую из формул и найдем экстремумы (r) и (R) при изменении угла (\theta).

Радиус вписанной окружности (r):

Подставляем формулу для (r):
[
r(\theta) = \frac{ab \sin \theta}{\frac{a + b + \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos \theta}}{2}}.
]
Для нахождения экстремумов нужно найти производную (r'(\theta)) и приравнять её к нулю. Для большей простоты можно использовать численный метод или вычислить конкретные значения.

Радиус описанной окружности (R):

Подставляем формулу для (R):
[
R(\theta) = \frac{\sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos \theta}}{2 \sin \theta}.
]
Аналогично, для нахождения экстремумов, необходимо взять производную (R'(\theta)) и приравнять её к нулю.

Геометрический смыслПри изменении угла (\theta) размеры треугольника изменяются, и, как следствие, изменяются радиусы вписанной и описанной окружностей.Радус вписанной окружности (расстояние от центра вписанной окружности до стороны треугольника) отражает, насколько "плотно" треугольник вписывается в окружность (чем меньше (r), тем "острее" треугольник).Радус описанной окружности (расстояние от центра описанной окружности до вершин треугольника) отражает "размер" треугольника (чем больше (R), тем "шире" треугольник).

Таким образом, экстремумы (r) и (R) будут соответствовать положениям угла (\theta), при которых геометрическая конструкция достигает специфических значений (например, равнобедренный или равносторонний треугольник).