Давайте обозначим стороны выпуклого четырёхугольника ( ABCD ) как ( AB ), ( BC ), ( CD ) и ( DA ). Обозначим расстояния от произвольной точки ( P ) до сторон ( AB ) и ( CD ) как ( d_1 ) и до сторон ( BC ) и ( DA ) как ( d_2 ).

Итак, нам нужно исследовать геометрическое место точек ( P ), для которых выполняется равенство:

[
d_1 + d_3 = d_2 + d_4,
]

где ( d_1 ) и ( d_3 ) — расстояния до сторон ( AB ) и ( CD ), а ( d_2 ) и ( d_4 ) — до сторон ( BC ) и ( DA ).

Координатная система: Для упрощения задач можно разместить все точки в координатной системе. Например, можно поместить сторону ( AB ) на ось ( OX ) и остальные стороны, отталкиваясь от этого положения.

Функция расстояния: Зная формулы для расстояния от точки до прямой, можно записать зависимость ( d_1 ), ( d_2 ), ( d_3 ) и ( d_4 ) как функции координат ( P(x, y) ).

Анализ:
Сумма расстояний до противоположных сторон будет равна сумме расстояний до остальных сторон тогда и только тогда, когда точка ( P ) находится в "равновесии" относительно этих сторон.

Линия равновесия: Геометрическим местом всех таких точек является четыре отрезка, соединяющие средние точки каждой пары противоположных сторон. Это можно сделать путем нахождения средней линии внутри четырехугольника, которая разбивает пространство на зоны влияния каждой из сторон.

Существует 4 отрезка: Каждая из сторон ( AB ), ( BC ), ( CD ) и ( DA ) создает определённое влияние на окружение точки ( P ). Находясь на отрезке, функция бегает между двумя противоположными сторонами, поэтому отрезок в пределах четырехугольника будет непосредственно связан с суммами этих расстояний.

Линии влияния: Если мы переместим точки ( P ), мы заметим, что в зависимости от их расположения, одно из расстояний будет увеличиваться, а другое уменьшаться, что демонстрирует равновесие.

Закон сохранения: В зависимости от расположения точки ( P ) у нас всегда будет выполнять равенство: область, в которой расстояния равны, является прямой линией или множеством, таким как параллелограмм, где средние линии пересекаются.

Таким образом, утверждение о том, что очень важные вэльный поверхности равенств — это объекты сводимые к осевым линиям тех объектов, что начинается от относительно бедного члена пространства, являются действительными. Каждый отрезок между противоположными отмечает в пространстве набор точек ( P ), что удовлетворяет заданному равенству.