Для решения этой задачи давайте сначала определим геометрические свойства правильного тетраэдра и характеристику точек, найденных на его рёбрах.

Правильный тетраэдр состоит из 4 треугольных граней, 6 рёбер и 4 вершин. Если длина стороны тетраэдра равна ( a ), то длина каждого ребра также равна ( a ).

Параметры точек на рёбрах

На каждом рёбре взята точка, отстоящая от ближайшей вершины на долю ( t ) от длины ребра. Обозначим такие точки как ( P_1, P_2, \ldots, P_6 ) соответственно для 6 рёбер тетраэдра. В координатной системе, если принять вершины тетраэдра за ( A(0, 0, 0) ), ( B(a, 0, 0) ), ( C\left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0\right) ) и ( D\left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{6}, \frac{a\sqrt{6}}{3}\right) ), мы можем вычислить координаты точек ( P ).

Координаты точек ( P_i )

Для рёбер ( AB, AC, AD, BC, BD, CD ) координаты точек будут:

( P_1 = (ta, 0, 0) ) (на ребре ( AB ))( P_2 = \left(\frac{ta}{2}, \frac{ta\sqrt{3}}{2}, 0\right) ) (на ребре ( AC ))( P_3 = \left(\frac{ta}{2}, \frac{ta\sqrt{3}}{6}, \frac{ta\sqrt{6}}{3}\right) ) (на ребре ( AD ))( P_4 = \left(a - \frac{ta}{2}, \frac{ta\sqrt{3}}{2}, 0\right) ) (на ребре ( BC ))( P_5 = \left(a - \frac{ta}{2}, \frac{ta\sqrt{3}}{6}, \frac{ta\sqrt{6}}{3}\right) ) (на ребре ( BD ))( P_6 = \left(\frac{ta}{2}, \left(1 - \frac{t}{2}\right)a\sqrt{3}, \frac{ta\sqrt{6}}{3}\right) ) (на ребре ( CD ))Объём и площадь поверхности многоугольника

Чтобы найти объем и площадь поверхности образованного многоугольника, необходимо воспользоваться формулами для вычисления объёма тетраэдра и площади.

Объём ( V ) выпуклого многогранника можно выразить через его площадь ( S ) и высоту ( h ) с использованием:
[
V = \frac{1}{3} S h
]

Также для нахождения площади поверхности многоугольника можно воспользоваться формулой площади на основе координат, которая реализуется через сумму площадей всех граней.

Поиск значений ( t )

Для нахождения параметра ( t ), при котором возникают симметрия или экстремумы, нужно исследовать производные функции объёма ( V(t) ) и площади поверхности ( S(t) ). Возможно, такие параметры будут равнозначно делениями отрезка ребра между вершинами.

Таким образом, конечной целью является использовать дифференциальное исчисление, чтобы определить значения ( t ), при которых достигается экстремум или симметрия (например, ( t = 0.5 ), когда точки симметрично делят отрезки). Рекомендуется провести численные расчёты и графическое исследование для построения графиков зависимости объёма и площади от ( t ).

Итоги

Подводя итоги, рекомендуется провести численные оценки и графическое отображение поведения параметров ( V(t) ) и ( S(t) ) для полного понимания мест, где они достигают экстремумов или проявляют симметрию.