Нужно уточнить пару вещей, прежде чем давать точное утверждение и доказательство — термин «центры внешних треугольников» и класс самих равнобедренных треугольников неоднозначны:

1) Что вы понимаете под «центрами» — вершины этих построенных равнобедренных треугольников (апексы), их центры тяжести (центроиды), окружности (описанные центры), вписанные центры и т.п.? Для разных выборов «центра» ответ будет разный.
2) Все ли три внешних равнобедренных треугольника одинаковы (т. е. попарно подобны, имеют одинаковые углы у основания), или каждый может быть произвольным (лишь требование — равнобедренность относительно соответствующей стороны)?
3) Под «внешне» вы имеете в виду, что все три треугольника строятся по одну сторону от сторон ABC (вне треугольника ABC), или могут быть разные направления (некоторые наружу, некоторые внутрь)?

Коротко о классических и легко формулируемых фактах, которые связаны с вашей задачей:

Если на сторонах любого треугольника ABC внешне построить равносторонние (т. е. специальный случай равнобедренных с углом 60°) треугольники, то центры этих равносторонних треугольников (циркумцентры = центроиды = инцентры для равносторонних треугольников) образуют равносторонний треугольник. Это — теорема Наполеона. Если два треугольника строятся вне, а один — внутрь (или наоборот), то получается тоже равносторонний треугольник, но с другим расположением (есть «внешняя» и «внутренняя» версии Наполеона).

Для произвольных равнобедренных треугольников (не равносторонних) утверждение «их центры образуют равносторонний треугольник» вообще не верно в общем случае. Можно легко привести контрпример: возьмите остроугольный треугольник ABC и на сторонах постройте сильно вытянутые равнобедренные треугольники (с очень острыми углами у основания) — треугольник центров в общем случае не будет равносторонним. Поэтому равносторонность центра трёх равнобедренных треугольников является частным случаем (напр., равносторонних) и не удерживается для произвольных равнобедренных треугольников.

Если хотите полное строгоое исследование, я могу:

ввести параметр α — базовый угол (или угол у вершины) для всех трёх подобных равнобедренных треугольников, считать центры (например, центроиды или вершины) в комплексной плоскости или через векторы и получить условие на α (и на выбор направлений наружу/внутри), при котором треугольник центров будет равносторонним; либоразобрать несколько отдельных случаев: «центры = апексы», «центры = центроиды», «центры = описанные центры», и дать доказательства/контрпримеры; либопривести полный разбор с рисунками и аналитическими выкладками.

Скажите, пожалуйста: какие именно «центры» вы имели в виду и все ли три равнобедренных треугольника подобны (одинаковые базовые углы)? Хотите ли строгое доказательство (алгебраическое/геометрическое) для выбранного случая?