Короткий ответ: таких точек C не существует (множество решений пусто).

Доказательство.

1) Геометрическое рассуждение (коротко).
Если окружность касается оси Ox в одной точке, то центр окружности лежит на перпендикуляре к Ox и расстояние от центра до Ox равно радиусу. Поэтому вся окружность лежит по одну сторону от Ox (включая касательную точку на Ox): либо все её точки имеют y ≥ 0, либо все — y ≤ 0. Точки A(1,2) и B(4,−1) расположены по разные стороны от Ox (y_A = 2 > 0, y_B = −1 < 0). Следовательно никакая окружность, касающаяся Ox, не может содержать одновременно A и B, а значит не существует точки C, чтобы окружность через A, B и C касалась Ox.

2) Аналитическое рассуждение.
Пусть окружность имеет центр O(h,k) и радиус r. Условие касания Ox эквивалентно |k| = r. Подставим точки A и B в уравнение окружности (x−h)^2+(y−k)^2 = r^2 и используем r^2 = k^2.

Для A: (1−h)^2 + (2−k)^2 = k^2 ⇒ (1−h)^2 + 4 − 4k + k^2 = k^2 ⇒ (1−h)^2 + 4 − 4k = 0 ⇒ 4k = (1−h)^2 + 4. (1)

Для B: (4−h)^2 + (−1−k)^2 = k^2 ⇒ (4−h)^2 + 1 + 2k + k^2 = k^2 ⇒ (4−h)^2 + 1 + 2k = 0 ⇒ 2k = −[(4−h)^2 + 1]. (2)

Из (1) и (2) получаем
[(1−h)^2 + 4]/4 = −[(4−h)^2 + 1]/2.
Умножив на 4 и перенесши всё в одну сторону:
(1−h)^2 + 4 + 2(4−h)^2 + 2 = 0 ⇒ (1−h)^2 + 2(4−h)^2 + 6 = 0.

Но левая часть представляет собой сумму неотрицательных членов и положительной константы, т.е. > 0 для любого h, что даёт противоречие. Значит исходная предпосылка (существование такой окружности) неверна.

Вывод: не существует ни одной точки C(x,y), при которой окружность через A и B и C касалась бы оси Ox. Геометрическое место таких точек пусто.