Краткая схема — от Евклида к неевклидовым геометриям, и что при этом меняется в планиметрии.

1) Как формулировал параллельный постулат Евклид

В «Началах» Евклид приводит пять аксиом; пятый (в традиционном переводе) звучит так:
«Если прямая, падая на две прямые, образует внутренние углы по одну сторону в сумме менее двух прямых, то, продолженные, эти две прямые пересекутся с той стороны, по которой сумма углов менее двух прямых.»
Это утверждение технически громоздкое; часто используют эквивалентную и более привычную формулировку Плейфера:Playfair (эквивалент в рамках прочих аксиом Евклида): «Через данную точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.» (т.е. ровно одна.)

2) Попытки вывести постулат и рождение неевклидовых геометрий

На протяжении веков математики пытались вывести пятый постулат из остальных аксиом — безуспешно. В XVIII–XIX вв. появились систематические попытки:
Saccheri и Lambert (начало XIX в.) рассматривали отрицание параллельного постулата и исследовали «три случая» для углов в специальной четырёхугольной конфигурации (три­тригонометрия): получали либо противоречие (евклидовый случай), либо неожиданные, но закономерные системы аксиом (остроугольный и тупоугольный случаи).В 1820–30‑е Лобачевский и Боляй независимо построили полные логические теории геометрии, в которых через точку можно провести бесконечно много «параллельных» (в смысле — не пересекающихся) прямых; это — гиперболическая геометрия.Риман (1854) предложил модель геометрии с положительной кривизной (сферическая/эллиптическая), где любые «прямые» (геодезические) пересекаются — параллелей нет.Beltrami, Клейн и Пуанкаре в конце XIX — начале XX в. построили конкретные модели гиперболической геометрии внутри евклидовой (модель Белтрами — Клейна; модель Пуанкаре), что свидетельствовало о внутренней непротиворечивости неевклидовых систем при условии непротиворечивости евклидовой.

3) Что остаётся верным без постулата V (нейтральная или абсолютная геометрия)

Многие «локальные» утверждения, доказываемые только из первых четырёх аксиом Евклида, остаются справедливыми: SAS, SSS (критерии конгруэнтности сторон/углов), равенство вертикальных углов, свойства равнобедренного треугольника и т. п.

4) Какие классические теоремы перестают быть верными или требуют замены (конкретные примеры)
Ниже — конкретные утверждения из планиметрии, которые в общем случае неверны без параллельного постулата, и как они заменяются.

Сумма углов треугольника = 180°

Евклид: в любом треугольнике сумма внутренних углов равна двум прямым (π радиан, 180°).Гиперболическая геометрия: сумма углов всегда меньше 180°; разность (π − сумма) пропорциональна площади треугольника (для постоянной отрицательной кривизны K = −1: area = π − (α+β+γ)). Сферическая/эллиптическая геометрия: сумма углов > 180°; избыток пропорционален площади (Gauss–Bonnet).Следствие: любое утверждение, использующее жёстко «сумма = 180°», требует корректировки.

Теорема о подобии (AAA) и «существование подобных, но не равных треугольников»

В евклидовой геометрии три равных угла дают подобие, но не обязательно равенство (может быть масштаб).В геометриях постоянной ненулевой кривизны (сфера, гипербола) знание трёх углов определяет треугольник с точностью до изометрии: AAA приводит к совпадению (конгруэнции), то есть понятие «подобие как отдельная теория масштабирования» исчезает. Другими словами, неверно, что существуют негомотетичные подобные треугольники: подобие = конгруэнция.

Теорема Пифагора

Евклид: в прямоугольном треугольнике c^2 = a^2 + b^2.В сферической и гиперболической геометриях Пифагор в этой форме не верен. Вместо него используются законы косинусов для треугольников на сфере/в гиперболе:Сферический (радиус R): для сторон a,b,c (как дуги на сфере) и прямого угла C = 90°:
cos(c/R) = cos(a/R) · cos(b/R).Гиперболический (радиус кривизны R): для прямого угла
cosh(c/R) = cosh(a/R) · cosh(b/R).Для «малых» треугольников (стороны << R) эти формулы аппроксимируют евклидову c^2 = a^2 + b^2.

Теоремы, зависящие от единственности параллели (Playfair)

В евклидовой геометрии через данную точку проходит ровно одна прямая, не пересекающая данную; множество результатов конструкции и доказательств опираются на это (например, многие доводы о параллельности, о параллелограммах и т. п.).В гиперболической геометрии через точку проходит бесконечно много не пересекающих прямых (различают «бесконечно много прямых, не пересекающих» и «пределы параллелей»), в сферической — ни одной.Следствие: любые теоремы, использующие «единственную» параллельную прямую (например, однозначность направления проекции, простые конструкции с параллельными переносами и масштабами), надо пересматривать.

Средняя линия (теорема о серединах)

Евклид: отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и равен её половине.В геометриях с кривизной «параллельность» либо отсутствует, либо ведёт себя иначе; утверждение «равен половине» в общем случае неверно — длины зависят от кривизны и не масштабируются так просто. Поэтому «теорема средней линии» требует замены: соединение середины даёт геодезическую, которая не обязательно параллельна третьей стороне и не обладает фиксированным отношением длин.

Формулы для суммы внутренних углов многогранников/многоугольников

Евклид: сумма углов n‑угольника = (n−2)π (при выпуклом).В криволинейной геометрии сумма зависит от площади и кривизны: для простого n‑угольника суммарный избыток/дефицит углов равен интегралу кривизны по области (снова следствие теоремы Гаусса — Бонне).

Прямые и параллелограммы — некоторые их свойства

Некоторые свойства параллелограмма (противоположные стороны равны и т. п.) доказываются в нейтральной геометрии и остаются верны, но многое, связанное с параллельным переносом и однородной масштабируемостью фигур, утрачено. Кроме того, конструкции, зависящие на глобальную однозначность параллели, теряют силу.

5) Что положительного: корректные заменяющие формулы и новые закономерности

Там, где евклидовы утверждения «ломаются», на их место приходят чёткие аналоги, выражаемые через кривизну: законы косинусов для сфер/гипербол, формулы площади через дефицит/избыток углов, специфика параллельных лучей в гиперболе (огромное множество «параллельных» в смысле «не пересекающих») и т. п.Многие классические эвристики остаются применимыми для «малых» фигур: если фигуры малы по сравнению с радиусом кривизны, то локально геометрия почти евклидова (теоремы аппроксимативно выполняются).

6) Вывод (кратко)

Пятый постулат Евклида выглядит поначалу техническим, но его замена/отрицание рождает принципиально другие геометрии (гиперболическая и эллиптическая), где меняются самые базовые утверждения — сумма углов треугольника, понятие подобия, формула Пифагора и др.При этом многие «локальные» утверждения, доказываемые без пятого постулата, сохраняются. Появление неевклидовой геометрии показало, что пятый постулат не является тавтологией и что существуют неизоморфные, но непротиворечивые геометрические системы.

Если хотите, могу:

привести формулировки эквивалентных формулировок параллельного постулата (полный список популярных эквивалентов);показать на простых рисунках (или шагах конструкции) конкретный пример треугольников с одинаковыми углами в гиперболической/сферической геометрии и объяснить, почему они становятся равными;вывести наглядно, как меняется Пифагор (сферический/гиперболический варианты) и показать приближение к евклидовой для маленьких сторон.