Коротко — какие свойства (инварианты) сохраняют проективные преобразования, затем — примеры задач и практические замечания/предостережения.

Основные инварианты проективных преобразований
Инциденция: точка лежит на прямой ⇔ образ точки лежит на образе прямой. Следовательно сохраняются коллинеарность точек и конкуренция прямых.Перекрёстное отношение (дважды отношение, cross ratio, ангармонический коэффициент): для четырёх коллинеарных точек A,B,C,D сохраняется (A,B;C,D). Для четырёх лучей, исходящих из одной точки, сохраняется соответствующее перекрёстное отношение углов. В частности гармоническое деление (A,B;C,D) = −1 инвариантно.Образ любой непустой непрерывной кривой степени два (не вырожденной к паре прямых), то есть коники, — снова коника (включая вырожденные случаи). Косание (касание) коники прямой сохраняется: касательная к конике переходит в касательную к образующей конике.Пучки лучей/пучки прямых переходят в пучки, сообщения о пересечениях/сопряжениях сохраняются.Теоремы чисто проективного (инцидентного) характера остаются верными: Desargues, Pappus, Pascal, Brianchon и др.

Что НЕ сохраняют (важно помнить):

Длины, площади, углы, отношения отрезков на разных параллельных прямых — в общем не сохраняются.Параллельность как метрическое понятие не инвариантна (параллельные прямые могут перейти в пересекающиеся и наоборот; только если отправить «линию в бесконечность» можно получить параллельность в образе).Порядок (между) точек на прямой не обязательно сохраняется; проективное отображение действующее на действительной проективной прямой может менять расположение точек и направленность.Средняя точка (midpoint) не является проективно-инвариантным понятием (только аффинные преобразования сохраняют барицентры и средние точки).

Формула перекрёстного отношения (в аффинной координате x):
(A,B;C,D) = (C A / C B) : (D A / D B) = (x_C − x_A)/(x_C − x_B) ÷ (x_D − x_A)/(x_D − x_B).
Это значение проектно-инвариантно.

Примеры задач и когда удобно применять проективную проекцию

A. Планиметрия

Доказательство теорем инцидентного/проективного характера: Pappus, Desargues, Pascal, Brianchon — все эти теоремы либо естественно формулируются в проективной геометрии, либо доказываются проективными преобразованиями. Часто одну из линий проекции можно сделать «особенной» (например, перейти к случаю, когда две прямые параллельны), и задача сводится к уже известному частному случаю.Упрощение задач с кониками: любую невырожденную конику можно послать в окружность (или параболу, гиперболу). После этого многие утверждения, которые зависят только от инцидентных и касательных свойств, проще проверять на круге (например, свойства полярных, теоремы о касательных, задачи с хордами и их пересечениями), т.к. у окружности симметричная и понятная аналитика.Преобразование конфигураций: часто берут проекцию, которая посылает какую‑то прямую в бесконечность — тогда в образе линии, параллельные в исходнике, становятся обычными параллельными в аффинной картине (или наоборот — из пересечения делают параллельность). Это упрощает доказательства, которые легче видеть в «параллельной» постановке (например, сведение общей задачи к задаче про параллельные прямые).Разрешение задач о пересечениях и коллинеарности: если надо доказать коллинеарность трёх точек, можно подобрать проективное преобразование, делающее некоторые пересечения более простыми (например, послать одну из точек в бесконечность, чтобы соответствующие прямые стали параллельными), затем доказать частный случай и скорректировать обратным преобразованием.
Пример конкретной задачи: доказать, что три точки пересечения противоположных сторон шестиугольника, вписанного в конику, коллинеарны (Pascal). Берут проекцию, посылающую конику в окружность и затем специальные симметрии облегчают вычисления.

B. Стереометрия (пространственные проекции)

Центральная проекция из точки переводит пространственную задачу в плоскость, при этом сохраняются прямые (прямые переходят в прямые), пересечения и коллинеарности. Это часто позволяет свести задачу о взаимном расположении прямых/плоскостей в пространстве к плоской конфигурации.
Примеры:
Для задачи о двух скрещивающихся прямых: проектируют из удобной точки так, чтобы одна из прямых перешла в удобное положение (на плоскость), и исследуют пересечения и параллельности в проекции.Доказательство теорем о сечениях многогранников: выбрать центр проекции таким образом, чтобы одна из плоскостей сечения превратилась в «простую» линию, и тем самым свести ситуацию к плоскости.Построение общих перпендикуляров, нахождение расстояний между скрещивающимися прямыми часто упрощается, если сделать ортогональную проекцию на плоскость, но это уже не чисто проектное (ортопроекция — метрический инструмент). Тем не менее, перспективная (центральная) проекция помогает свести задачу к плоской геометрии, где потом применяют известные методы.

Ограничения и предостережения при применении проекции

Нельзя использовать проекцию, если результат утверждения зависит от метрических величин (углов, длин, площадей), если нет доказательства, что такое свойство инвариантно. Перед проекцией всегда нужно проверить: инвариантно ли нужное свойство при выбранном классе преобразований (проективные/аффинные/изометрии).Центр проекции и соответствующие особые линии/точки: нельзя выбирать центр проекции, лежащий на одной из прямых/пучков, которые вам важны — это вызовет вырождение (точки сведутся в одну, прямая перейдёт в точку и т. п.). Надо проследить, чтобы отображение было биективно на рассматриваемой конфигурации.Отправка в бесконечность: полезный приём (послать прямую в бесконечность), но он меняет понятия параллельности и «между». Например, если вы отправляете точку в бесконечность, то понятие «отрезок» превращается в «направление», и нельзя говорить о смысле отношения отрезков. Поэтому если исходное утверждение требует сохранения отношений между частями отрезка (например, «M — середина AB»), такой приём недопустим, если вы используете общие проективные преобразования (нужны аффинные).Порядок точек: проективное отображение может менять порядок точек на прямой (между не сохраняется). Если утверждение использует порядок (например, «точка C лежит между A и B»), нужно убедиться, что выбранное отображение сохраняет этот порядок (это случается для некоторых аффинных или ориентирующих проекций, но не в общем случае).Знак и ориентация: отношение знаков (как в ориентированных отрезках) и ориентировка плоскости не обязательно сохраняются; знакопеременные выводы требуют проверки.Выведение частного случая → общий случай: часто доказывают теорему, проделав проективное преобразование, сводящее всё к частному конфигурационному случаю, где проверка тривиальна. Это корректно, только если вы четко аргументируете инвариантность проверки (т. е. что доказываемое свойство действительно проективно инвариантно). Если свойство не инвариантно, такой переход неверен.

Практические советы

Чётко выделяйте, какие свойства нужны доказать — инцидентные (коллинеарность, конкуренция), кросс-отношения, касание к конике — и только в этих случаях безопасно применять проективные замены.Если при решении важно сохранять середины, параллельность или отношения длин, используйте не общую проекцию, а аффинную (частный случай проективных), или вообще избегайте проекций.Всегда указывайте обратимость: чтобы получить общую теорему из частного случая, докажите, что выбранное преобразование — биекция для всей рассматриваемой конфигурации и что свойство инвариантно.При работе на действительной прямой/плоскости следите за «реальностью» корней/положением — некоторые проективные карты могут переносить вещественные точки в комплексные или повести через точку в бесконечности, что требует аккуратной трактовки.

Короткий итог: при решении задач удобно и мощно использовать проективные преобразования тогда и только тогда, когда требуемое свойство является проективно-инвариантным (коллинеарность, конкуренция, перекрёстное отношение, касание коники и т. п.). Это позволяет свести общую конфигурацию к удобному частному случаю; но нужно внимательно избегать вырождения, следить за сохранением нужных отношений (и в тех случаях, когда они не сохраняются, пользоваться ограниченными классами преобразований — например, аффинными).