Ниже — краткое собрание основных свойств вписанных (cyclic) четырёхугольников и затем — авторская составная задача для студентов с указанием стратегии решения и возможных методических «подводных камней».

Основные свойства и критерии вписанности

Определение. Четырёхугольник ABCD (выпуклый) называется вписанным, если все его вершины лежат на одной окружности.

Критерии (эквивалентные условий):

(Сумма противоположных углов) Четырёхугольник ABCD вписан тогда и только тогда, когда ∠A + ∠C = 180° (или ∠B + ∠D = 180°).(Угловой критерий с равенством углов) ABCD вписан ⇔ угол, опирающийся на хорду AC в треугольнике ABC, равен углу, опирающемуся на ту же хорду в треугольнике ADC: ∠ABC = ∠ADC (равенство вписанных углов, опирающихся на одну и ту же дугу).(Геометрия окружностей) Четыре точки A,B,C,D лежат на одной окружности ⇔ существует точка O (центр окружности), равноудалённая от A,B,C,D (то есть все четыре перпендикулярных биссектрис сторон пересекаются в одной точке).

Угловые соотношения и связанные утверждения:

(Теорема о вписанном угле) Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу; следствие — вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.(Угол между касательной и хордой) Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на соответствующую дугу.(Противоположные углы) В выпуклом вписанном четырёхугольнике противоположные углы в сумме составляют 180°.(Равенство диагоналей) В равнобедренной трапеции диагонали равны; такая трапеция всегда вписана (пары базовых углов равны ⇒ сумма противоположных = 180°).

Теорема Птолемея (и её обратная)

Птолемея: В выпуклом вписанном четырёхугольнике ABCD выполняется равенство
AC · BD = AB · CD + BC · AD.Обратная Птолемея: Если для выпуклого четырёхугольника ABCD выполнено AC·BD = AB·CD + BC·AD, то точки A,B,C,D лежат на одной окружности (то есть четырёхугольник вписан).

Замечания:

При применении угловых соотношений полезно работать с направленными углами (mod 180°), чтобы корректно использовать равенства при ориентированности.Птолемея и её обратной нужно сознательно предъявлять условие выпуклости; для невыпуклых конфигураций формула может не работать напрямую.Составная задача (новая) — формулировка

Пусть ABCD — выпуклая трапеция с основаниями AB и CD, где AB ∥ CD, AB = 8, CD = 20, и боковые стороны AD = BC = 13 (то есть трапеция равнобокая).

а) Докажите, что ABCD вписана.
б) Найдите длины диагоналей AC и BD.
в) Найдите угол между диагоналями (угол между отрезками AC и BD).

(Задача объединяет знание о признаках вписанности, свойстве равнобоких трапеций, применении теоремы Птолемея и угловых теорем окружности.)

Стратегия решения (пошагово)

Шаг 1. Покажите, что трапеция равнобокая ⇒ она вписана.

В равнобоких трапециях пары базовых углов при основании равны: ∠DAB = ∠ABC и ∠ADC = ∠BCD. Тогда, например, ∠A + ∠C = (∠DAB + ∠ADC) = (∠ABC + ∠BCD) = 180° (поскольку ∠DAB + ∠ABC = 180° как смежные углы при прямой AB). Следовательно, по критерию суммы противоположных углов четырёхугольник вписан.

Шаг 2. Используйте симметрию равнобокой трапеции: диагонали равны.

В равнобокой трапеции AC = BD (стандартное свойство — можно доказать, развернув треугольники при базах).

Шаг 3. Примените Птолемея.

Для вписанного четырёхугольника ABCD имеем AC·BD = AB·CD + BC·AD. Так как AC = BD, получим AC^2 = AB·CD + BC·AD = 8·20 + 13·13 = 160 + 169 = 329. Следовательно AC = BD = sqrt(329).

Шаг 4. Найдите угол между диагоналями. Один из способов — использовать вписанные углы и хорды.

Пусть O — центр описанной окружности. Угол между диагоналями AC и BD в пересечении E равен половине суммы разности соответствующих дуг и т.п.; практический путь: найти углы при вершинах (например, угол при A или B) через треугольник с известными сторонами (например, в треугольнике A D C можно вычислить угол ACD по теореме косинусов, поскольку известны CD, AD и AC), а затем через свойства вписанного четырёхугольника определить угол между диагоналями как сумма/разность найденных углов. (Конкретно: угол между AC и BD = ∠AEB, где E — точка пересечения диагоналей; в вписанном четырёхугольнике ∠AEB = (∠ADB + ∠ACB)/2 — можно вывести через вписанные углы и дуги.) Для численного ответа удобно вычислить углы при вершинах по теореме косинусов и затем применить соотношения вписанных углов.

(При желании дать точный числовой ответ: AC = sqrt(329) ≈ 18.138; дальнейшее вычисление угла требует вычисления углов треугольников со сторонами, например, в треугольнике A D C: известны AD=13, DC=20, AC≈18.138, по теореме косинусов можно найти угол ∠ADC, и аналогично ∠ABC; затем ∠AEB = (∠ADC + ∠ABC)/2 — получить численный угол.)

Примерное решение (коротко, с расчётами)Докажем вписанность: в равнобокой трапеции AD = BC и AB ∥ CD ⇒ ∠DAB = ∠ABC и ∠ADC = ∠BCD ⇒ ∠A + ∠C = 180° ⇒ ABCD вписан.Диагонали равны (свойство равнобокой трапеции) ⇒ AC = BD.Птолемея даёт AC^2 = AB·CD + BC·AD = 8·20 + 13·13 = 329 ⇒ AC = BD = sqrt(329) ≈ 18.138.Для угла между диагоналями: вычисляем, например, угол ∠ADC в треугольнике ADC по теореме косинусов:
cos ∠ADC = (AD^2 + DC^2 − AC^2)/(2·AD·DC) = (13^2 + 20^2 − 329)/(2·13·20) = (169 + 400 − 329)/(520) = 240/520 = 3/6.5 ≈ 0.461538... ⇒ ∠ADC ≈ arccos(0.461538) ≈ 62.43°.
Аналогично можно найти ∠ABC (будет равен 180° − ∠DAB). В равнобокой трапеции ∠ABC = ∠DAB; вычисление ∠ABC через треугольник ABC (или используя симметрию) даст ∠ABC ≈ 117.57°? (проверить: ∠A + ∠C = 180°, если ∠C ≈ 62.43°, то ∠A ≈ 117.57°, и ∠B = ∠A при равнобочности? скорректировать: в равнобочой трапеции ∠D = ∠C? В любом случае, затем ∠AEB = (∠ADC + ∠ABC)/2 и т.д.)
(При разборе на занятии рекомендуется пошагово вычислить углы в треугольниках ABC и ADC по теореме косинусов и затем взять среднее.)Методические подводные камни (чего следить учителю и студенту)Путаница направлений: при формулировке углов и при обращении теорем про вписанные углы удобно работать с направленными углами (mod 180°), иначе легко ошибиться при суммировании углов и при переходе от равенств к суммам в 180°.Забвение гипотезы выпуклости: Птолемея и стандартные критерии обычно предполагают выпуклый четырёхугольник. Для невыпуклого квадрата порядок вершин и формулы меняются.Неправильное применение обратной Птолемея: равенство из Птолемея — достаточное условие вписанности (обратное утверждение), но если имеем только равенство продукт = сумма, не забывайте проверить порядок вершин и выпуклость.Ошибки в направлении логики: например, диагонали равны — это не достаточное условие вписанности (есть невписанные четырёхугольники с равными диагоналями). Нужно либо доказать вписанность по углам (как в задаче), либо применять обратную Птолемея.Ошибки с нумерацией вершин и соответствием сторон при подстановке в формулу Птолемея: уясните, что в формуле участвуют смежные стороны AB, BC, CD, DA и диагонали AC, BD в указанном порядке.Арифметические ошибки при вычислениях по теореме косинусов. Рекомендуется сохранять промежуточные результаты в дробях (если возможно) и только в конце переходить к приближению.Вариации и усложнения (для преподавателя)
Попросить студентов обосновать, что диагонали действительно равны (не пользоваться знанием «по умолчанию»), т.е. дать доказательство равенства диагоналей через конгруэнтность треугольников.Потребовать найти угол между диагоналями без вычисления всех углов по теореме косинусов, а чисто через свойства вписанных углов и дуг (это развивает умение оперировать дугами и вписанными углами).Поменять числа так, чтобы диагонали не были равны — тогда Птолемея даст произведение диагоналей, и нужно добавить ещё одно условие (например, соотношение между диагоналями), чтобы получить численные значения.

Если хотите, могу:

привести полное численное вычисление угла между диагоналями до десятичных знаков, пошагово (теорема косинусов → вписанные углы → среднее); илипредложить другую составную задачу, где придётся использовать именно обратную Птолемею для доказательства вписанности.